손실과 회복의 수학: 반토막은 두 배가 필요하다

반토막 난 돈을 되찾으려면 두 배로 올라야 한다는 계산은 널리 알려져 있습니다. 덜 알려진 것은 같은 비대칭이 매일의 등락에도 작동해서, 오르내림이 클수록 평균 수익률과 실제로 불어난 수익률의 차이가 커진다는 점입니다. 이 글은 손실과 회복의 산수, 변동성이 복리를 깎는 크기, SPY, QQQ, TQQQ가 2000년, 2008년, 2020년, 2022년 고점에서 회복하기까지 걸린 실제 기간을 정리합니다. 한 번에 넣은 경우와 매달 나눠 넣은 경우의 회복 기간도 비교합니다. 숫자는 2026년 9월 30일 기준입니다.

손실과 회복의 비대칭

가격이 L만큼 내려가면 남은 돈은 1 − L이고, 되찾는 데 필요한 상승률은 1 ÷ (1 − L) − 1입니다. 손실이 작을 때는 둘이 비슷하지만, 손실이 커질수록 필요한 상승률은 빠르게 커집니다.

필요한 상승률은 −10%에서 +11.1%, −30%에서 +42.9%, −50%에서 +100%, −80%에서 +400%입니다. 연 10%씩 오른다고 놓으면 메우는 기간은 −50%에서 7.3년, −80%에서 16.9년입니다. QQQ는 2000년 3월 27일부터 2002년 10월 9일까지 배당을 넣어도 −83.0%였고, 그 뒤 연 15.4%로 올랐는데도 고점을 되찾는 데 12.4년이 더 걸렸습니다.

변동성 끌림: 산술 평균과 기하 평균

10% 오른 뒤 10% 내리면 결과는 제자리가 아니라 −1%입니다. 두 해의 산술 평균은 0%지만 실제로 불어난 비율인 기하 평균은 음수입니다. 둘의 차이는 대략 변동성(표준편차)의 제곱을 2로 나눈 만큼이고, 이를 변동성 끌림(volatility drag)이라고 부릅니다. 같은 오르내림을 3배로 키워 30%씩 오르내리면 결과는 −9%이고, 열 번 되풀이하면 ±10%는 −9.6%, ±30%는 −61.1%입니다.

배당을 넣은 연간 수익률로 계산하면 SPY(1994~2025년, 32년)는 산술 평균 12.3%, 기하 평균 10.7%였습니다. QQQ(2000~2025년)는 12.5% 대 8.3%, TQQQ(2011~2025년)는 60.4% 대 39.2%였습니다. 일간 수익률로 잰 연 변동성은 SPY 18.7%, QQQ 26.9%, TQQQ 61.1%였습니다. 변동성이 클수록 두 평균의 간격이 벌어졌습니다. "평균 수익률 몇 %"라는 말이 산술 평균이라면 실제 계좌의 수익률은 그보다 낮습니다.

레버리지 ETF는 하루 단위로 3배다

TQQQ는 나스닥100 하루 수익률의 3배를 목표로 하고, 운용사 설명서는 하루보다 긴 기간에는 수익률이 3배와 크게 다를 수 있다고 적고 있습니다. TQQQ는 2010년 2월 9일 상장했고, 이 사이트 자료가 시작하는 2010년 2월 11일부터 2026년 9월 30일까지 QQQ는 연 19.6%였습니다. 그 3배는 연 58.7%지만, QQQ 하루 수익률을 매일 3배로 이어 붙이면 비용 없이도 연 50.2%였고 실제 TQQQ는 연 42.9%였습니다. 앞의 차이는 변동성 끌림이고, 뒤의 차이는 운용 보수와 차입 비용, 추적 오차입니다.

횡보 구간에서는 차이가 더 크게 보입니다. 2021년 11월 19일부터 2023년 12월 13일까지 QQQ는 배당을 넣어 +1.2%로 제자리였지만, 같은 날 TQQQ는 2021년 11월 고점보다 -44.0% 아래였습니다. QQQ 하루 수익률을 3배로 이어 붙인 값도 비용 없이 -32.1%였습니다. 기초 지수가 고점을 되찾아도 레버리지 ETF는 되찾지 못할 수 있다는 뜻입니다.

실제 회복 기간 (2026년 9월 기준)

아래 표의 고점은 배당 포함 종가 기준의 직전 최고점이고, QQQ 2007~2008년만 2000년 고점이 아닌 2007년 고점입니다. 가격 회복은 분할만 반영한 종가가, 배당 포함 회복은 배당을 다시 산 가격이 고점을 다시 넘은 첫날입니다. QQQ 2022년의 가격 기준 고점은 2021년 11월 19일이라 날짜가 다릅니다. 마지막 칸은 고점이 든 달 첫 거래일부터 매달 첫 거래일에 $500씩 넣었을 때, 지수 바닥 뒤 처음으로 평가액이 넣은 돈 이상이 된 날입니다.

배당은 회복을 앞당겼습니다. SPY의 2000년 고점은 가격으로는 7.2년, 배당을 넣으면 6.6년 만에 되찾았고, QQQ는 16.4년과 14.9년이었습니다. 배당이 적은 TQQQ는 차이가 거의 없었습니다. TQQQ의 2022년 하락은 −81.7%로 QQQ(−35.1%)의 2.3배였고, 회복에는 3.0년이 걸렸습니다.

나눠 넣으면 회복이 빨랐던 이유

매달 같은 금액을 넣으면 가격이 낮을 때 더 많은 주식을 삽니다. 그래서 평균 매수 단가가 고점보다 크게 낮아지고, 지수가 고점을 되찾기 훨씬 전에 넣은 돈을 넘깁니다. QQQ를 2000년 3월부터 매달 적립한 경우 2004년 1월 7일에 원금을 넘겼고, 같은 달 한 번에 넣은 돈은 2014년 8월 25일에야 원금을 넘겼습니다.

대가는 손실 금액입니다. 적립은 넣은 돈이 계속 늘어서, 뒤에 온 하락을 더 큰 금액으로 맞습니다. QQQ 2000년 3월 적립은 2001년 9월 21일 넣은 돈 $9,500에 평가액 $4,324로 −54.5%였고, 원금을 넘긴 뒤 2008년 하락으로 다시 잠겨 마지막으로 원금 아래였던 날은 2009.7.17였습니다. SPY 2000년 3월 적립은 2009년 3월 9일 넣은 돈 $54,500에 평가액 $34,433였습니다. −36.8%로 2002년 바닥 때(−33.6%)보다 깊었고, 모자란 금액은 $20,067로 2002년 바닥 때 $5,369의 3.7배였습니다. 원금 아래였던 마지막 날은 2010.7.6였습니다.

연구와 공시에서 확인된 것

• 손실 회피: 카너먼과 트버스키는 1992년 연구에서 손실이 같은 크기의 이익보다 약 2.25배 크게 느껴진다는 추정치를 냈습니다(투자 심리). 반토막을 메우는 상승률은 숫자로도 손실의 두 배이고, 느끼기로는 그보다 더 멉니다.
• 레버리지 ETF 경고: 미국 증권거래위원회(SEC)와 금융산업규제청(FINRA)은 2009년 8월 18일 공동 투자자 경고에서, 매일 비율을 다시 맞추는 레버리지와 인버스 ETF는 복리 때문에 긴 기간의 결과가 목표 배수와 크게 달라질 수 있다고 적었습니다.
• 회복은 법칙이 아닙니다: 일본 닛케이 225 지수는 1989년 12월 29일 종가를 2024년 2월 22일에야 처음 넘었습니다(가격 기준 약 34년, CNN).

이 원리가 맞을 때와 틀릴 때

• 비대칭은 언제나 맞습니다: 산수이므로 종목과 시장을 가리지 않습니다. 달라지는 것은 회복에 쓸 수 있는 상승률과 시간입니다.
• 회복 기간은 하락 깊이만으로 정해지지 않았습니다: SPY는 2020년의 −33.7% 하락을 5.7개월 만에, 2000~2002년의 −47.5% 하락은 6.6년 만에 되찾았습니다. 하락 뒤에 얼마나 빨리 올랐느냐가 기간을 갈랐습니다.
• 적립의 빠른 회복은 계속 넣을 수 있을 때만 성립합니다: 하락 중에 적립을 멈추면 바닥 근처에서 사는 몫이 사라집니다(QQQ 매달 적립 백테스트).
• 레버리지 ETF의 회복 기간은 기초 지수보다 길 수 있습니다: TQQQ는 QQQ가 고점을 되찾은 2023년 12월 13일보다 11.7개월 늦은 2024년 12월 4일에야 2021년 고점을 되찾았습니다(배당 포함, TQQQ vs QQQ, QLD 적립).

관련 개념과 검색어

• 변동성 끌림, 변동성 잠식(Volatility drag, volatility decay): 오르내림 때문에 기하 평균이 산술 평균보다 낮아지는 현상입니다. 레버리지 ETF에서는 음의 복리, 녹아내림이라는 표현도 씁니다.
• 회복 기간(Recovery time, time to breakeven): 고점에서 내려간 뒤 고점을 다시 넘기까지 걸린 기간입니다. 하락 시작부터 바닥까지를 포함해 수중 기간(underwater period)이라고도 부릅니다.
• 최대 낙폭(MDD): 고점에서 바닥까지 가장 크게 내려간 비율입니다.
• 순서 위험(Sequence of returns risk): 같은 수익률이라도 큰 손실이 언제 오느냐에 따라 돈을 넣거나 빼는 사람의 결과가 달라지는 위험입니다. 위 적립 사례에서 뒤에 온 하락의 손실 금액이 더 컸던 것이 한 예입니다.

검색어: volatility drag, volatility decay, leveraged ETF decay, recovery time after crash, arithmetic vs geometric mean, 손실 회복 수익률, 반토막 회복, 레버리지 ETF 음의 복리, 나스닥 회복 기간, S&P500 회복 기간.

이 숫자의 한계

• 미국의 넓은 지수 ETF가 모두 회복한 기간의 기록입니다. 다른 시장과 개별 종목에 그대로 옮길 수 없습니다.
• TQQQ는 2010년 상장이라 2000년과 2008년 하락을 겪지 않았습니다. 그 하락에서 TQQQ가 어땠을지는 이 글에서 계산하지 않았습니다.
• 세금, 환율, 원화 기준 수익률은 넣지 않았습니다. 적립은 매달 $500, 편도 비용 0.15%로 계산했습니다.
• 변동성 끌림 공식은 근사식입니다. 실제 차이는 수익률 분포의 모양과 기간에 따라 다릅니다.